Но все же скорее как сына Филарета, а не самого по себе
Это через отца Михаил был в родстве с царской семьей, ну и все влияние семейства Романовых тоже через отца.
И о правлении Михаила Ключевский пишет "Воротившийся из плена отец государев, возведенный в сан патриарха и второго государя, твердою рукою взялся за кормило правления и не всегда смотрел на боярские лица; но управление до конца жизни Филарета велось совместными силами обоих государей при участии Боярской думы и земского собора."
Оба государя - это Филарет и Михаил.