Собственно шапка ведь не гвардейская, а гренадерская
и похожие шапки носили и французские, и русские гренадеры, но наши даже вообще без ремешка. Нечто похожее есть на какой-то картинке про французских конных гренадер - там вроде бы на подбородке, а не под подбородком.
Может, это вообще исходно не ремешок, а защита подбородка?